Al parecer he dado con la solución, y estaba delante mio todo el rato.
Vamos a la raiz (root) de nuestro directorio de drupal:
vi .htaccess
Vamos a la siguiente linea:
<IfModule mod_php4.c>
# If you are using Apache 2, you have to use <IfModule sapi_apache2.c>
# instead of <IfModule mod_php4.c>.
Lo dice muy claro en inglés, hay que cambiar el IfModule por:
<IfModule sapi_apache2.c>
Y ahora todo funciona bien.